ofsp2026 24_pimple | Aerosand.cn

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Mar 28, 2026 08:52 AM

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Mar 28, 2026

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ofsp2026 24_pimple

summary

0. 前言

前面两篇讨论了主要基于稳态问题的 SIMPLE 算法和基于瞬态问题的 PISO 算法，本文将讨论兼顾了瞬态和计算效率的 PIMPLE 算法。

本文主要讨论

PIMPLE 算法

1. 控制方程

类似于 22_piso 一文的讨论，考虑无重力瞬态不可压缩流动的 NS 方程

连续方程（质量方程）

描述了粘性力的动量方程

参考前文关于压力项和粘度项的密度处理，最终有

控制方程为

连续方程（质量方程）

描述了粘性力的动量方程

2. PIMPLE

在 OpenFOAM 中，PIMPLE 算法结合了 PISO 算法和 SIMPLE 算法。

一般认为 PISO 算法精度高，适合捕捉精细的瞬态流场变化。但是 PISO 算法要求库朗数必须小于 1 。这意味着时间步长必须非常小，导致计算速度慢，尤其对于网格很精细或流速很快的问题来说，计算成本会很高。

一般认为 SIMPLE 算法较为稳健，允许使用较大的松弛因子来保证计算稳定，非常适合稳态问题。但是如果用于瞬态问题，则计算效果不足。

鉴于此，学者们引入了 PIMPLE 算法用以结合 PISO 和 SIMPLE 算法的优点。

2.1. 动量预测

我们同样有动量预测。

在某个时间步或者初始时间步，我们由上一步求得的已知速度压力场或者初始已知速度压力场，根据动量方程直接求出一个预测的速度场。

约定每个时间迭代步内，【动量预测】求解动量方程得到的预测速度表示为

动量方程简化为

求解动量方程的步骤被称为【动量预测】（momentum predictor），求得预测速度。

2.2. 第一次压力修正

求解连续方程，也即求解压力修正方程

我们有类似于 SIMPLE 算法和 PISO 算法的分析，如下

动量方程

有

速度还需要满足连续方程

即有

整理有

其中

所谓的压力修正，也就是，用上面得到的预测速度来计算新的压力（修正压力）

其中

理论上，为了求解得精确压力，我们应该提供精确的。

实际上，我们只能提供基于预测速度的参与求解计算。

这样的操作，在实际上是假设忽略对计算的影响并不大。

📌

Question

同样会问，这里的忽略到底会产生什么影响呢？

上式中，基于【动量预测】的预测速度求得，同样基于【动量预测】的预测速度求得。

由此，可以求解得到【第一次压力修正】后的第一次修正压力。

2.3. 第一次动量修正

在【第一次压力修正】后，修正速度有

上式中，基于【动量预测】的预测速度求得，同样基于【动量预测】的预测速度求得，是【第一次压力修正】后的修正压力。

可以求解得到【第一次动量修正】后的第一次修正速度。

对于稳态问题， SIMPLE 算法只执行一次压力动量修正。如果多次修正的话，因为每次修正都使用旧的A，收益不大，效果不如直接进行外循环。

对于瞬态问题，每个时间步的求解场值都对下一个时间步的计算至关重要。对于每个时间步，参与计算的 H(U) 随着速度场更新而变化。多次修正，可以解决为了满足连续性方程时，所产生的偏差。

2.4. 第二次压力修正

因为速度得到了修正，

所以此时的自动更新成了。

📌

Note

还记得 H(U) 和 A 不同，H(U) 是关于 U 变化的。

由此，可以求解得到【第二次压力修正】后的第二次修正压力 p^{cor2}。

2.5. 第二次动量修正

在【第一次压力修正】后，修正速度有

上式中，依然是基于【动量预测】的预测速度求得，而随着【第一次动量预测】的预测速度变化而发生了更新，是【第二次压力修正】后的修正压力。

可以求解得到【第二次动量修正】后的第二次修正速度。

2.6. 内循环

压力修正和动量修正可以形成循环迭代，直到修正压力和修正速度满足要求。

类似 PISO 算法，一般来说，压力动量修正两次就可以了，次数再多的收益会很小。可以简单理解为，第一次修正是为了满足连续性方程。第二次修正是为了解决在满足连续性方程时所产生的误差（如忽略邻点速度修正的误差），以及其他误差。

📌

Tip

这个过程也被称为 inner loop

由内循环迭代结束时候得到的速度场和压力场，用于外循环计算。

2.7. 外循环

因为 PIMPLE 算法是为了用于大库朗数的计算，库朗数定义为

即时间步比较大，或者速度比较大。

此时的数值计算会不可避免的面临速度变化大的情况，此时对流项的非线性处理也有有了问题，这也意味着会出现所谓的“大库朗数下的压力速度耦合失稳”的问题。为了避免计算失稳，学者们为整个流程引入类似 SIMPLE 算法的外循环，即在开始下一个时间步之前，再次使用动量方程对速度场进行约束，也就是动量预测。

外循环最后得到的速度场和压力场，参与到下一个时间步的计算。

整理流程可以总结如下

关于 PIMPLE 算法框架，摘抄主要代码如下

3. 小结

我们一起讨论了 PIMPLE 算法。下一篇，我们将基于这里的讨论，在 OpenFOAM 实现一个简单的 PIMPLE 求解器。

本文完成讨论

PIMPLE 算法

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📌

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